取 $z_3 = \infty$, 则 $C$ 退化为一条直线, 此时对称的条件化为

取绝对值即得 $\vqty{z^* - z_2} = \vqty{z - z_2}$, 其中 $z_2$ 可为圆上任一有限点, 因此 $z$ 与 $z^*$ 到 $C$ 上任一点的距离相等.

取虚部即得 $\Im \dfrac{z^* - z_2}{z_1 - z_2} = - \Im \dfrac{z - z_2}{z_1 - z_2}$, 因此 $z$ 与 $z^*$ 关于 $C$ 异侧.

因此 $z$ 与 $z^*$ 与 $C$ 垂直.

综上所述, $C$ 垂直平分 $z$ 与 $z^*$.